Quadratische Funktionen in Mathematik | Schülerlexikon (2024)

Nimmt man vereinfachend an, dass ein Bungee-Springer in der ersten Phase nach seinem Absprung aus $h_{0}$ Meter Höhe frei fällt, so würde er sich entsprechend den Gesetzen der Physik nach t Sekunden in einer Höhe
$h = h_{0} - \frac{g}{2} \cdot t^{2} (g = 9,81 \frac{m}{s^{2}})$
über der Erdoberfläche befinden.
Die Gleichung
$h (t) = h_{0} - \frac{g}{2} \cdot t^{2}$
beschreibt eine spezielle quadratische Funktion.

Definition:
Eine Funktion mit einer Gleichung der Form

$y = f (x) = a x^{2} + b x + c (mit a \neq 0, x \in ℝ)$

oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion
( $a x^{2}$ nennt man das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung).

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel (quadratische Parabel). Die Symmetrieachse der Parabel verläuft parallel zur y-Achse und schneidet den Graphen der Funktion im Scheitelpunkt (Scheitel) der Parabel.
Für a > 0 ist die Parabel nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet (Bild 1).

Für a > 0 besitzt die Parabel einen tiefsten Punkt (einen Minimumpunkt) und für a < 0 einen höchsten Punkt (einen Maximumpunkt). Diese Punkte sind jeweils Scheitelpunkt der Parabel.

Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen mit a = 1. Man erhält
$y = f (x) = x^{2} + b x + c$
bzw. durch Umbenennung
$y = f (x) = x^{2} + p x + q (m i t p, q \in ℝ)$
Um den Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen p, q und den Graphen der entsprechenden quadratischen Funktionen zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen.

Parabel nach oben bzw. nach unten geöffnet

Fall 1: p = 0, q = 0
Man erhält die quadratische Funktion $f (x) = x^{2}$ . Ihr Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen, ihr Wertebereich die Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen. Der Graph dieser Funktion wird Normalparabel genannt (Bild 2). Ihre Symmetrieachse ist die y-Achse; der Scheitel hat die Koordinaten (0; 0). Aufgrund der im Funktionsterm auszuführenden Operation (Quadrieren) ist die Funktion $f (x) = x^{2}$ für alle $x \leq 0$ streng monoton fallend und für alle $x \geq 0$ streng monoton wachsend sowie nach unten beschränkt.

Normalparabel

Fall 2: p = 0; q $\neq$ 0
Es ergibt sich die Gleichung $f (x) = x^{2} + q$ mit $q \in ℝ$ , z.B. also
$y = f_{1} (x) = x^{2} + 1$ oder $y = f_{2} (x) = x^{2} - 4$ .
Im Vergleich zum zuvor betrachteten Fall erhält man die Funktionswerte der jeweiligen Funktion, indem man zum entsprechenden Funktionswert von $f (x) = x^{2}$ die Zahl 1 addiert bzw. von diesem 4 subtrahiert (allgemein: q addiert).
Das heißt geometrisch: Der Graph der Funktionen $f (x) = x^{2} + q$ ist eine um $| q |$ Einheiten in Richtung der positiven (für q > 0) bzw. negativen y-Achse (für q < 0) verschobene Normalparabel mit der y-Achse als Symmetrieachse (Bild 3) und dem Scheitel (0; q).

Fall 3: p $\neq$ 0, q = 0
Man erhält die Gleichung $f (x) = x^{2} + p x$ mit $p \in ℝ$ , zum Beispiel also $y = f (x) = x^{2} + 2 x$ .

Normalparabel mit y-Achse als Symmetrieachse

Um mit den vorangegangenen Fällen vergleichen zu können, liegt es nahe, die Summe im Funktionsterm in ein vollständiges Quadrat umzuwandeln. Das ist mithilfe der quadratischen Ergänzung möglich:
$f (x) = x^{2} + 2 x + 1 - 1 = {(x + 1)}^{2} - 1$
Die Funktionsgleichung erreicht damit die Gestalt $f (x) = {(x + d)}^{2} + e$ .
Der Einfluss des Summanden e auf den Graphen der Funktion ist bekannt (siehe Fall 2).
Anhand der Funktionsgleichungen $h (x) = x^{2}$ und $f (x) = {(x + d)}^{2}$ erkennt man:
Der Funktionswert, den die Funktion $h (x) = x^{2}$ an einer beliebigen Stelle x annimmt, ist gleich dem Funktionswert von
$f (x) = {(x + d)}^{2}$ an der Stelle x – d, denn
$f (x - d) = {[(x - d) + d]}^{2} = x^{2} = h (x)$ .
Also: Der Graph der Funktion y = $f (x) = {(x + d)}^{2}$ ist die um $| d |$ Einheiten in Richtung der positiven (falls d < 0) oder der negativen x-Achse (falls d > 0) verschobene Normalparabel.
In Bezug auf das betrachtete Beispiel $y = f (x) = x^{2} + 2 x$ bzw. $y = f (x) = {(x + 1)}^{2}$ – 1 bedeutet das: Der Graph der Funktion ist die um je eine Einheit in Richtung der negativen x- und y-Achse verschobene Normalparabel (Bild 4); der Scheitelpunkt ist
S(–1; –1).

Fall 4: p $\neq$ 0; q $\neq$ 0
Man erhält die Gleichung $y = f (x) = x^{2} + p x + q$ mit $p, q \in ℝ$ . Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann diese wieder in die Struktur $y = f (x) = {(x + d)}^{2} + e$ überführt werden, aus der sich die Koordinaten des Scheitelpunktes S(–d; e) unmittelbar ablesen lassen (siehe Fall 3).

Normalparabel mit S (–1; –1)

Man spricht deshalb auch von der Scheitelpunktsform der Gleichung einer quadratischen Funktion. Bei der Umformung geht man in folgenden Schritten vor (Bild 5):

Beispiel:	Allgemeiner Fall:
$\begin{matrix} g (x) = x^{2} + 5 x + 7 \\ = x^{2} + 5 x + {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} + 7 \\ = {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{3}{4}, \end{matrix}$	$\begin{matrix} f (x) = x^{2} + p x + q \\ = x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q \\ = {(x + \frac{p}{2})}^{2} + [- {(\frac{p}{2})}^{2} + q], \end{matrix}$
also $d = \frac{5}{2}; e = \frac{3}{4}$ und damit $S (- \frac{5}{2}; \frac{3}{4}) .$	also $d = \frac{p}{2}; e = - {(\frac{p}{2})}^{2} + q$ und damit $S (- \frac{p}{2}; - {(\frac{p}{2})}^{2} + q) .$

Das heißt: Die Koordinaten des Scheitelpunktes kann man unmittelbar aus p und q erhalten, ohne die Scheitelpunktsform zu erzeugen.
Führt man für ${(\frac{p}{2})}^{2} - q = \frac{p^{2}}{4} - q$ die Abkürzung D ein, so erhält man für die Koordinaten des Scheitelpunktes $S (- \frac{p}{2}; - D)$ bzw. $S (- \frac{p}{2}; - (\frac{p^{2}}{4} - q))$ . D nennt man Diskriminante der quadratischen Funktion.

Normalparabel mit S (–2,5; 0,75)

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ScheitelpunkteinteraktivMinimumpunktMathcadquadratische FunktionenNormalparabelDiskriminanteRechenbeispielMaximumpunktBerechnungsbeispiel

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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